To byłby dla mnie zaszczyt, gdybyś złamała mi serce.

Wiedząc o tym sprawdźmy następny schemat. Przykład V {(p?~q)?~r}?{(p?q)?r} Formuła jest implikacją, czyli zredukuje się do 0 przy każdym podstawieniu, przy którym następnik {(p?q)?r} przyjmuje wartość 0, a poprzednik {(p?~q)?~r} ma wartość 1. Z kolei tenże następnik, który sam jest implikacją, przyjmuje wartość 0, gdy jego następnik „r” przyjmuje wartość 0, poprzednik (p?q) – wartość 1. Zatem pozostanie nam zbadać przypadek, gdy r=1, p=1, q=1, bo wtedy następnik naszej formuły zredukuje się do 0. Zobaczmy wobec tego, co przy tych podstawieniach stanie się z poprzednikiem: p=1, q=1, r=0 (p ? ~q)? ~r (1 ? ~1) ? ~0 (1 ? 0) ? 1 0 ? 1 1 Okazało się, że poprzednik ma wartość 1, gdy następnik 0. Więc badana formuła nie jest tautologią. Przykład VI: ~{p ? (q ? r)} ? {p ? (~q ? ~r)} Schemat jest implikacją, a więc jest fałszywy tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik fałszywy. Zatem gdy ~{p ? (q ? r)} = 1, a {p ? (~q ? ~r)} = 0 Tak jak poprzednio, wpierw sprawdzamy, przy jakich podstawieniach następnik okresu redukuje się do 0, by następnie przy tych samych podstawieniach zobaczyć, jak zachowuje się poprzednik. Jednak na samym początku procedury wyeliminujemy te podstawienia, przy których następnik ma wartość 1. Zauważamy, że następnik implikacji jest koniunkcją {p ? (~q ? ~r)}. Zatem ma wartość 1 tylko wtedy, gdy oba jego człony równocześnie redukują się do 1. Widzimy, że jest to możliwe tylko wtedy, gdy p=1, q=0, r=0. Wobec tego te właśnie podstawienia możemy wyeliminować z naszej procedury badawczej. W pozostałych podstawieniach następnik redukuje się do 0. Wypada teraz sprawdzić, przy jakich podstawieniach poprzednik okresu redukuje się do 1. Poprzednik jest implikacją zanegowaną: ~{p ? (q ? r)}. Zatem redukuje się do 1 wtedy, gdy sama implikacja redukuje się do 0. Z kolei ta implikacja p ? (q ? r) redukuje się do 0 wtedy, gdy p ma wartość 1, a drugi jej człon (q ? r) wartość 0. Ten człon jest jednak alternatywą, czyli redukuje się do 0 tylko wtedy, gdy oba jej człony mają wartość 0, tzn. gdy q=0 oraz r=0. Zatem tylko ta jedna kombinacja (p=1, q=0, r=0) powoduje, że cały poprzednik redukuje się do 1. Widzimy jednak, że jest to ta sama kombinacja, którą wyeliminowaliśmy z naszej procedury badawczej, gdyż przy następnik całego okresu ma wartość 1, a z nim – cały okres. Pozostaje nam odrzucić tę kombinację po raz wtóry (inaczej mówiąc: procedura sprawdzania poprzednika na niewiele się zdała). Wiemy jednak, że przy pozostałych kombinacjach nasza formuła również redukuje się do 1, gdyż przy wszystkich innych podstawieniach jej następnik ma wartość 1, a dla implikacji (nasza formuła jest implikacją) to oznacza, że jest ona schematem tautologicznym. Wykazaliśmy w ten sposób, że badana formuła jest tautologią rachunku zdań. Istnieją jednak schematy implikacyjne tak zbudowane, że ich następnik redukuje się do 0 dla kilku kombinacji podstawień. Wówczas trzeba zbadać zachowanie poprzednika dla wszystkich kombinacji. Przykład VII {p ? (q ? r)}?{q ? (p ? r)} Sprawdzimy, czy ten schemat jest tautologią. Schemat jest implikacją, a więc jest fałszywy tylko wtedy, gdy poprzednik redukuje się do 1, a następnik do 0. Zobaczmy, czy i kiedy zachodzi taki przypadek. Następnik {q ? (p ? r)} również okazał się implikacją, a więc redukuje się do 0 tylko wtedy, gdy jego poprzednik q=1, a jego następnik (p ? r) = 0. Z kolei (p ? r) = 0 w trzech kombinacjach p i r, a mianowicie wtedy, gdy: p=0, r=0; p=0, r=1; p=1, r=0. Uzyskaliśmy z trzy kombinacje, przy których następnik {q ? (p ? r)} naszej formuły redukuje się do 0: p=1, q=1, r=0; p=0, q=1, r=1; p=0, q=1, r=0. Zobaczmy zatem, jak przy tych podstawieniach zachowuje się poprzednik całego okresu {p ? (q ? r)}. Musimy sprawdzić, czy dla tych podstawień przyjmuje wartość 1, która redukuje cały okres do 0